群體決策
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環(huán)境信息、個(gè)人偏好、方案評(píng)價(jià)方法是一個(gè)決策好壞的關(guān)鍵。而這些又與個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)問(wèn)題的理解有關(guān)，特別是對(duì)于復(fù)雜的決策問(wèn)題，不僅涉及到多目標(biāo)、不確定性、時(shí)間動(dòng)態(tài)性、競(jìng)爭(zhēng)性，而且個(gè)人的能力已遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到要求，為此需要發(fā)揮集體的智慧，由多人參與決策分析，這些參與決策的人，我們稱(chēng)之為決策群體，群體成員制訂決策的整個(gè)過(guò)程就稱(chēng)為群體決策。
群體決策是決策科學(xué)中一門(mén)具有悠久研究歷史和現(xiàn)代應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科。它研究如何將一群個(gè)體中每一成員對(duì)某類(lèi)事物的偏好匯集成群體偏好，以使該群體對(duì)此類(lèi)事物中的所有事物作出優(yōu)劣排序或從中選優(yōu)。作為一種抉擇的手段，群體決策是處理重大定性決策問(wèn)題的有力工具。
阿羅（K.J.Arrow）的不可能性定理是群體決策序數(shù)理論的基礎(chǔ)，少數(shù)服從多數(shù)的多數(shù)規(guī)則是群體決策中應(yīng)用最為普遍的一個(gè)重要方法。本文擬對(duì)群體決策中這兩個(gè)基本的內(nèi)容做一概要介紹。
群體決策問(wèn)題
在現(xiàn)代，任何一種民主社會(huì)體制都應(yīng)當(dāng)盡可能地滿(mǎn)足它的每一個(gè)成員的需求。然而，在一個(gè)社會(huì)群體中，由于各個(gè)成員對(duì)所考慮的事物總會(huì)存在著價(jià)值觀念上的差別和個(gè)人利益間的沖突，因而他們對(duì)于各種事物必然會(huì)具有不同的偏好態(tài)度。將眾多不同的個(gè)體偏好匯集成一個(gè)群體偏好，據(jù)此對(duì)某類(lèi)事物作出群體抉擇，是當(dāng)今社會(huì)處理各種重大決策和分配問(wèn)題的有效手段。自第二次世界大戰(zhàn)之后，在現(xiàn)代民主社會(huì)中，民主政治和市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)是社會(huì)發(fā)展的兩大基本課題。民主政治的主要形式是投票表決，而市場(chǎng)機(jī)制亦即貨幣投票，它們都是典型的群體決策問(wèn)題。
在我國(guó)，各級(jí)人民代表的選舉就是一個(gè)群體決策問(wèn)題。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制下，廣大消費(fèi)者對(duì)某類(lèi)商品的選購(gòu)也是群體決策問(wèn)題。此外，如投資項(xiàng)目招標(biāo)、專(zhuān)業(yè)職稱(chēng)評(píng)定、文體競(jìng)賽排名以及軍事參謀團(tuán)決策，等等，都是群體決策問(wèn)題的范例。
一個(gè)群體決策問(wèn)題包含兩大要素：一個(gè)是供選擇的對(duì)象，稱(chēng)為供選方案，如選舉中的候選人、購(gòu)物中的品牌貨物或文體競(jìng)賽中的選手；另一個(gè)是參與決策的成員，即決策者或稱(chēng)決策個(gè)體，如選舉中的選民、購(gòu)物中的顧客或文體競(jìng)賽中的評(píng)判員。當(dāng)然，任意一個(gè)群體決策問(wèn)題均應(yīng)有不少于兩個(gè)供選方案和不少于兩位決策個(gè)體。群體決策問(wèn)題是：決策個(gè)體各自提供對(duì)供選方案的偏好，依據(jù)某一規(guī)則匯集成群體偏好，據(jù)此對(duì)所有的供選方案進(jìn)行群體偏好排序或從中選優(yōu)。
群體可排規(guī)則與
不可能性定理
進(jìn)行理性的群體決策，顯然首先應(yīng)要求其中每一決策者對(duì)所有的供選方案都能作出個(gè)人的偏好排序，也即要求各個(gè)體偏好在供選方案集上具如下三個(gè)性質(zhì)：自反性，認(rèn)為任一方案x都不差于本身；傳遞性，若認(rèn)為方案x不差于y，并且y不差于z，則x應(yīng)不差于z；完全性，對(duì)任意兩方案x和y，應(yīng)認(rèn)為或者是x不差于y或者是y不差于x，兩者必居其一。以后，稱(chēng)滿(mǎn)足這三個(gè)性質(zhì)的偏好為供選方案集上的弱序或偏好序。然而，即使每一個(gè)體偏好都是供選方案集上的偏好序，但經(jīng)某群體決策規(guī)則產(chǎn)生的群體偏好，則未必能保證是供選方案集上的偏好序。為使群體偏好能對(duì)方案集中所有的供選方案作出群體偏好排序，我們稱(chēng)使群體偏好是方案集上的偏好序（即具自反性、傳遞性和完全性）的群體決策規(guī)則是供選方案集上的群體可排規(guī)則。
1951年，阿羅提出一個(gè)合理的群體可排規(guī)則（他沿用福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中的術(shù)語(yǔ)稱(chēng)它為社會(huì)福利函數(shù)）應(yīng)該滿(mǎn)足一組理性的條件（或稱(chēng)阿羅公理）［1，2］，包括：正相關(guān)性條件、無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性條件、帕萊托原則和非獨(dú)裁性條件。
以選舉問(wèn)題為例，正相關(guān)性條件要求：在兩次投票中，如果所有選民都認(rèn)為候選人x和y相比第二次不比第一次差，并且其他候選人之間的情況不變，那么若第一次投票的結(jié)果是x優(yōu)于y，則第二次的結(jié)果也應(yīng)該是x優(yōu)于y。無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性條件表示：在兩次投票中，若所有選民對(duì)任意一對(duì)候選人x和y的態(tài)度都不變，則他們之間的關(guān)系對(duì)于兩次投票的結(jié)果應(yīng)是一樣的，即x和y之間的排序關(guān)系與他們之外的候選人如何無(wú)關(guān)。帕萊托原則意即：若所有的選民都認(rèn)為候選人x優(yōu)于y，則投票結(jié)果應(yīng)該是x優(yōu)于y。非獨(dú)裁性條件則要求：在選民中不存在有這樣的獨(dú)裁者，即不管其他人的態(tài)度如何，只要他認(rèn)為候選人x優(yōu)于y，選舉的結(jié)果就是x優(yōu)于y。
在群體決策中普遍應(yīng)用的多數(shù)規(guī)則是：群體中多數(shù)人的偏好即為群體偏好。
阿羅的四個(gè)條件是對(duì)一個(gè)理性的群體可排規(guī)則的適當(dāng)和合理的要求。阿羅給出兩個(gè)定理，分別闡述了方案數(shù)為2和不少于3的情況，滿(mǎn)足理性條件的群體可排規(guī)則的存在性問(wèn)題。兩方案的可能性定理說(shuō)明，當(dāng)只有兩個(gè)供選方案時(shí)，則不論各個(gè)體偏好序如何選取，多數(shù)規(guī)則是一群體可排規(guī)則，并且它同時(shí)滿(mǎn)足正相關(guān)性、無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性、帕萊托原則和非獨(dú)裁性條件。然而，一般情況的不可能性定理證明了，當(dāng)供選方案不少于3個(gè)時(shí)，若各個(gè)體偏好序無(wú)限制地任意選取，則不存在能夠同時(shí)滿(mǎn)足四個(gè)條件的群體可排規(guī)則［1-4］。據(jù)此，西方一些學(xué)者認(rèn)為：從某種意義上說(shuō)，以上兩定理是英美兩黨制的邏輯基礎(chǔ)。同時(shí)，有些經(jīng)濟(jì)學(xué)家還認(rèn)為：在商品多樣化（即供選方案遠(yuǎn)大于3時(shí)）的現(xiàn)代社會(huì)，不可能存在完善的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制。
多數(shù)規(guī)則與投票悖論
前面介紹的多數(shù)規(guī)則是群體決策中最典型也是被研究得最多的一個(gè)群體決策規(guī)則。為考察其實(shí)用功能，來(lái)看兩個(gè)例子。
例1 設(shè)有可供選擇的四種水果：蘋(píng)果、梨、桃、棗，三個(gè)決策個(gè)體：DM1，DM2和DM3。記Pr(r=1，2，3)是DMr 的嚴(yán)格偏好（意即xPry表示DMr認(rèn)為水果x優(yōu)于水果y），Ir是DMr的淡漠（xIry表示DMr認(rèn)為水果x與y無(wú)差異），Rr=Pr∪Ir是DMr的偏好。現(xiàn)在，設(shè)三位決策者各自提供對(duì)各種水果的個(gè)體偏好序如下：
DM1：蘋(píng)果 P1 桃 P1 梨 I1 棗
DM2： 梨 P2 桃 P2 蘋(píng)果 P2 棗
DM3： 梨 P3 蘋(píng)果 I3 桃 P3 棗
下面來(lái)看由多數(shù)規(guī)則如何得到群體G=｛DM1，DM2，DM3｝對(duì)四種水果的偏好排序。據(jù)上述提供的個(gè)體偏好排序，對(duì)于蘋(píng)果和梨，三人中一人是蘋(píng)果優(yōu)于梨二人是梨優(yōu)于蘋(píng)果，故結(jié)果是梨優(yōu)于蘋(píng)果。對(duì)于蘋(píng)果和桃，三人中蘋(píng)果優(yōu)于桃和桃優(yōu)于蘋(píng)果各一人，第三人是蘋(píng)果和桃互相淡漠，故三人意見(jiàn)綜合的結(jié)果是兩者無(wú)差異。其余，有蘋(píng)果優(yōu)于棗，梨優(yōu)于桃，梨優(yōu)于棗，桃優(yōu)于棗。歸納以上結(jié)果，最后得到G對(duì)四種水果的群體偏好排序是梨排第一，蘋(píng)果和桃第二（它們互相淡漠），棗第三。
例2 設(shè)甲、乙、丙三人，對(duì)三種水果：蘋(píng)果、梨和桃進(jìn)行投票。現(xiàn)設(shè)對(duì)各種水果的個(gè)體偏好排序如下：
甲：蘋(píng)果 P1 梨 P1 桃
乙：梨 P2 桃 P2 蘋(píng)果
丙：桃 P3 蘋(píng)果 P3 梨
根據(jù)多數(shù)規(guī)則，對(duì)蘋(píng)果和梨，甲和丙認(rèn)為蘋(píng)果優(yōu)于梨，而乙持相反意見(jiàn)，故群體是蘋(píng)果優(yōu)于梨；同時(shí)，根據(jù)相同的規(guī)則可以得到梨優(yōu)于桃，而桃優(yōu)于蘋(píng)果。這時(shí)，群體對(duì)三種水果的群體偏好排序出現(xiàn)了循環(huán)排序現(xiàn)象，從而群體對(duì)各方案不能獲得區(qū)分優(yōu)劣的結(jié)果。1882年，南森（E.J.Nanson）就曾給出多數(shù)規(guī)則會(huì)導(dǎo)致這種循環(huán)排序的例子，并稱(chēng)為投票悖論［5］。
在上面投票悖論的例子中，根據(jù)多數(shù)規(guī)則得到群體偏好的結(jié)果是，蘋(píng)果優(yōu)于梨和梨優(yōu)于桃并不能導(dǎo)致蘋(píng)果優(yōu)于桃（而是桃優(yōu)于蘋(píng)果），因而群體偏好不具備傳遞性。由此，對(duì)于供選方案數(shù)不少于3的情況，因?yàn)橛啥鄶?shù)規(guī)則匯集形成的群體偏好不是供選方案集上的偏好序，所以它并不是一群體可排規(guī)則。然而，不難驗(yàn)證，即使在供選方案數(shù)不少于3的情況，多數(shù)規(guī)則也仍然能同時(shí)滿(mǎn)足上文阿羅公理的四個(gè)條件。
庫(kù)姆斯條件
使用多數(shù)規(guī)則進(jìn)行群體決策的主要缺陷是：若不對(duì)其中各個(gè)體偏好的選擇做任何限制，則有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所匯集的群體偏好不具傳遞性的問(wèn)題。為此，人們考慮如何對(duì)個(gè)體偏好的選擇加以適當(dāng)?shù)南拗疲允褂啥鄶?shù)規(guī)則形成的群體偏好在供選方案集上保證是傳遞的。下面介紹一個(gè)簡(jiǎn)單和比較直觀的限制條件。
庫(kù)姆斯條件 設(shè)Rr，Pr和Ir依次是第r(r=1，…，l；l≥2)個(gè)決策個(gè)體DMr在供選方案集X上的偏好、嚴(yán)格偏好和淡漠。若存在X上的一個(gè)數(shù)值函數(shù)a（t）和各DMr對(duì)應(yīng)的偏好值ar，使得對(duì)X中的任意方案x，y，有
（1）xPry當(dāng)且僅當(dāng)｜a(x)－ar｜<｜a(y)-ar｜，
（2）xIry 當(dāng)且僅當(dāng)｜a(x)－ar｜=｜a(y)-ar｜
（即xRry當(dāng)且僅當(dāng)｜a(x)－ar｜≤｜a(y)-ar｜），則稱(chēng)Rr是X上的庫(kù)姆斯偏好。若對(duì)每一個(gè)r(=1，…，l)，個(gè)體偏好Rr都是X上的庫(kù)姆斯偏好，則稱(chēng)個(gè)體偏好組［R1,…,R1］在X上滿(mǎn)足庫(kù)姆斯條件。
這個(gè)條件是庫(kù)姆斯（C.H.Coombs）在1954年提出的［6］。當(dāng)供選方案數(shù)不少于3，決策個(gè)體不小于2，而且是奇數(shù)時(shí)，若個(gè)體偏好組滿(mǎn)足庫(kù)姆斯條件，則可證明由多數(shù)規(guī)則匯集形成的群體偏好必定是傳遞的。
上述結(jié)果表明，個(gè)體偏好組的庫(kù)姆斯條件是使多數(shù)規(guī)則形成的群體偏好具傳遞性的一個(gè)充分條件。此外，還有其他形式的條件，如布萊克（Black）條件，羅米羅（Romero）條件，阿羅-布萊克條件等，也都是多數(shù)規(guī)則匯集形成的群體偏好具傳遞性的充分條件［1，2］。在實(shí)用中，只要將個(gè)體偏好的選擇限制于滿(mǎn)足這些條件，那么運(yùn)用多數(shù)規(guī)則進(jìn)行群體決策就不會(huì)發(fā)生如投票悖論的循環(huán)排序現(xiàn)象。因此，在個(gè)體偏好的適當(dāng)限制下，多數(shù)規(guī)則仍然是一個(gè)應(yīng)用廣泛的群體決策方法。
(本文是國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.70071026）工作的一部分。)
［1］ Arrow K J. Social Choice and Individual Valued. Cowles Foundation of Yale University，1970
［2］ Arrow K J. Social Choice and Multicriterion Decision Making. MIT Press，1986
［3］ Sen A K.Collective Choice and Social Welfare. Advanced Textbooks in Economics. North Holland，1995
［4］ Geanakoplos J.Three Brief Proofs of Arrow’s Impossibility Theorem. Cowles Foundation Discussion Paper No.1123 RRR. Yale University, 2001
［5］ Nanson E J. Methods of Election. Transactions and Proceedings of the Royal Society of Victoria，1882，19：197
［6］ Coombs C H. Social Choice and Strength of Preference. In: Thrall R M, Coombs C H ,Davis R L ed. Decision Processes. New York: Wiley，1954
利用庫(kù)姆斯條件的例子
試討論一個(gè)飲料甜度的評(píng)比問(wèn)題。設(shè)有3位消費(fèi)者的代表組成一評(píng)比組G=｛ DM1，DM2，DM3｝，對(duì)具不同甜度的4種品牌飲料x(chóng)，y，z和u進(jìn)行優(yōu)選評(píng)比。飲料的甜度用0到1表示，設(shè)已知甜度依次是a(x)=0.1，a(y)=0.68，a(z)=0.35和a(u)=0.9，而決策者對(duì)應(yīng)的偏好甜度分別是a1=0.6，a2=0.3，a3=0.7。顯然，決策者的偏好甜度與某飲料的甜度越接近，該決策個(gè)體即越偏好于此品牌飲料。因?yàn)閺囊阎獢?shù)據(jù)有
｜a(y)-a1｜=0.08<｜a(z)-a1｜=0.25<｜a(u)-a1｜=0.3<｜a(x)-a1｜=0.5
｜a(z)-a2｜=0.05<｜a(x)-a2｜=0.2<｜a(y)-a2｜=0.38<｜a(u)-a2｜=0.6
｜a(y)-a3｜=0.02<｜a(u)-a3｜=0.2<｜a(z)-a3｜=0.35<｜a(x)-a3｜=0.6
所以由庫(kù)姆斯偏好的定義，各決策者對(duì)不同飲料的個(gè)體偏好排序?yàn)?/p>
DM1： y P1 z P1 u P1 x
DM2： z P2 x P2 y P2 u
DM3： y P3 u P3 z P3 x
由于所給的個(gè)體偏好組滿(mǎn)足庫(kù)姆斯條件，因此可采用多數(shù)規(guī)則。并且，由上述個(gè)體偏好的排序關(guān)系可以得到評(píng)比組G對(duì)各品牌飲料的偏好排名是：y第一，以下依次是z，u和x。
考慮方案集X上DMr（r=1，2，3）的效用函數(shù)Ur（t）=1-｜a（t）-ar｜ (Ur（t）的值越大表示DMr越偏好于方案t∈X)。在以a（t）為橫坐標(biāo)Ur（t）為縱坐標(biāo)的（三個(gè)）坐標(biāo)面上作t=x，y，z，u處的效用點(diǎn)（a（t），Ur（t））。
由已知各品牌飲料的甜度和決策者的偏好甜度，可算得DM1的對(duì)應(yīng)效用點(diǎn)(0.1,0.5)，(0.68,0.92)，(0.35,0.75)，(0.9,0.7)；DM2的對(duì)應(yīng)效用點(diǎn)(0.1,0.8)，(0.68,0.62) ，(0.35,0.95)，(0.9,0.4)；DM3的對(duì)應(yīng)效用點(diǎn)(0.1,0.4)，(0.68,0.98)，(0.35,0.65)，(0.9,0.8)。連接它們，得效用線(xiàn)如圖中U1，U2和U3（此處，r=1，2，3的三個(gè)坐標(biāo)面重疊畫(huà)在一起）。
從圖中可見(jiàn)，U1，U2和U3都具有上凸的“單峰性”的特點(diǎn)。因此，庫(kù)姆斯條件也稱(chēng)為單峰條件或庫(kù)姆斯單峰條件。
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