預防醫(yī)學/集中趨勢指標
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平均數(shù)是統(tǒng)計中應用最廣泛、最重要的一個指標體系。常用的有算術均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)三個指標。它們用于描述一組同質(zhì)計量資料的集中趨勢或反映一組觀察值的平均水平。
目錄 |
一、算術均數(shù)（arithmetic mean）
簡稱對數(shù)（mean）。習慣上以表示樣本均數(shù)，以希臘字母μ表示總體均數(shù)。均數(shù)適用于對稱分布，特別是正態(tài)或近似正態(tài)分布的計量資料，其計算方法有：
（一）直接法
當樣本的觀察值個數(shù)不多時，將各觀察值X1，X2，……，Xn相加再除以觀察值的個數(shù)n（樣本含量）即得均數(shù)。其公式為：
公式（18.1）
式中，希臘字母Σ（讀作sigma）是求和的符號。
例18.1 某地11名20歲健康男大學生身高（cm）分別為174.9,173.1, 171.8,179.0,173.9,172.7,166.2,170.8,171.8,172.1,168.5。試計算其均數(shù)。
（二）加權法
當觀察值個數(shù)較多時，可先將各觀察值分組歸納成頻數(shù)表，用加權法求均數(shù)。其計算步驟如例18.2。
例18.2 某地1993年隨機測量了該地110名20歲健康男大學生的身高(cm)，資料如下，試計算其均數(shù)。
| 173.9 | 173.9 | 166.9 | 179.5 | 171.2 | 167.8 | 177.1 | 174.7 | 173.8 | 182.5 |
| 173.6 | 165.8 | 168.7 | 173.6 | 173.7 | 177.8 | 180.3 | 173.1 | 173.0 | 172.6 |
| 173.6 | 175.3 | 178.4 | 181.5 | 170.5 | 176.4 | 170.8 | 171.8 | 180.7 | 170.7 |
| 173.8 | 164.4 | 170.0 | 175.0 | 177.7 | 171.4 | 162.9 | 179.0 | 174.9 | 178.3 |
| 174.5 | 174.3 | 170.4 | 173.2 | 174.5 | 173.7 | 173.4 | 173.9 | 172.9 | 177.9 |
| 168.3 | 175.0 | 172.1 | 166.9 | 172.7 | 172.2 | 168.0 | 172.7 | 172.3 | 175.2 |
| 171.9 | 168.6 | 167.6 | 169.1 | 166.8 | 172.0 | 168.4 | 166.2 | 172.8 | 166.1 |
| 173.5 | 168.6 | 172.4 | 175.7 | 178.8 | 169.1 | 175.5 | 170.3 | 171.7 | 164.6 |
| 171.2 | 169.1 | 170.7 | 173.6 | 167.2 | 170.7 | 174.7 | 171.8 | 167.3 | 174.8 |
| 168.5 | 178.7 | 177.3 | 165.9 | 174.0 | 170.2 | 169.5 | 172.1 | 178.2 | 170.9 |
| 171.3 | 176.1 | 169.7 | 177.9 | 171.1 | 179.3 | 183.5 | 168.5 | 175.5 | 175.9 |
1.編制頻數(shù)表
（1）求全距（range）：找出觀察值中的最大值（183.5）和最小值（162.9），它們的差值即全距，常用R表示。本例R=20.6。
（2）定組距和組段：相鄰兩組的最小值之差稱組距，常用i表示，各組距可相等，也可不相等，一般用等距。常取全距的1/10，取整作組距。本例全距的1/10為2.06，取整為2，用等距共劃分11個組段。第一組段應包括資料中最小值，最末組段應包括最大值，一般要求組段的起點為較整齊的數(shù)。本例第一組段的起點（即下限）取162，其止點（即上限）為第二組段的起點即164，然后每一組距（本例為2）就成為一組段，最末組段應同時寫出下限和上限，本例為182～184。
（3）列表劃記：按上述的組段序列排列制表，用正字劃記法將例18.2中的數(shù)據(jù)歸納到各組段中，最后清點出頻數(shù)得頻數(shù)表，表18-1中的第（2）、（3）欄。
表18-1 110名20歲健康男大學生身高(cm)的頻數(shù)分布
由頻數(shù)表的頻數(shù)分布可看出兩個重要特征：集中趨勢和離散趨勢。集中趨勢即頻數(shù)分布向中央部分集中；離散趨勢即頻數(shù)分布由中央到兩側(cè)逐漸減少。頻數(shù)分布可為①對稱分布或近似正態(tài)分布，即集中位置在正中，兩側(cè)頻數(shù)分布大致對稱，如表18-1；②偏態(tài)分布，即集中位置偏向一側(cè)，頻數(shù)分布不對稱，若集中位置偏向數(shù)值小的一側(cè)，為正偏態(tài)分布；若集中位置偏向數(shù)值大的一側(cè)，為負偏態(tài)分布。不同類型的分布，應采用相應描述指標和統(tǒng)計分析方法。
2．計算公式
公式（18.2）
式中，k為組段數(shù)；f1,f2,……,fk分別為各組段的頻數(shù)；X1，X2，……，Xk分別為各組段的組中值，組中值為本組段的下限與相鄰較大組段的下限相加除以2，如“162-”組段的組中值X1=（162+164）/2=163，余仿此。
3．列計算表（表18-2）計算均數(shù)
110名20歲健康男大學生身主的均數(shù)為172.73(cm)。
二、幾何均數(shù)（geometric mean）
用G表示。常用于等比級數(shù)資料和對數(shù)對稱分布，尤其是對數(shù)正態(tài)分布的計量資料。對數(shù)正態(tài)分布即原始數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換后（用原始數(shù)據(jù)的對數(shù)值lgX代替X）服從正態(tài)分布。其計算方法有：
表18-2 110名20歲健康男大學生身高（cm）均數(shù)的計算表（加權法）
| 身高級段（1） | 組中值X（2） | 頻數(shù)f（3） | FX(4)=(2)×(3) |
| 162～ | 163 | 1 | 163 |
| 164～ | 165 | 4 | 660 |
| 166～ | 167 | 9 | 1503 |
| 168～ | 169 | 13 | 2197 |
| 170～ | 171 | 19 | 3249 |
| 172～ | 173 | 27 | 4671 |
| 174～ | 175 | 16 | 2800 |
| 176～ | 177 | 8 | 1416 |
| 178～ | 179 | 8 | 1432 |
| 180～ | 181 | 3 | 543 |
| 182～184 | 183 | 2 | 366 |
| 合計 | 110(Σf) | 19000(ΣfX) |
（一）直接法
當觀察值個數(shù)n不多時，直接將n個觀察值（X1，X2，……Xn）的乘積開n次方。其計算公式為：
公式（18.3）
其對數(shù)形式：
公式（18.4）
例18.3 設有6份血清的抗體效價為1：10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160。求其平均效價。
本例可將各抗體效價的倒數(shù)代入公式（18.4），求平均效價數(shù)的倒數(shù)。
該6份血清的平均抗體效價為1:45。
（二）加權法
當觀察值個數(shù)n較多時，先將觀察值分組歸納成頻數(shù)表，再用公式（18.5）計算。
公式（18.5）
式中，X為各組段的效價或滴度的倒數(shù)（等比級數(shù)資料時）或各組段的組中值（對數(shù)正態(tài)分布資料時）；f 為各組段所對應頻數(shù)。
例18.430名麻疹易感兒童接種麻疹疫苗一個月后，血凝抑制抗體滴度如表18-3第（1）、（2）欄，試求其平均抗體滴度。
30名麻疹易感兒童免疫后的平均血凝抑制滴度為1:48.5。
三、中位數(shù)（median）
中位數(shù)是一組按大小順序排列的觀察值中位次居中的數(shù)值，用M表示。它常用于描述偏態(tài)分布資料的集中趨勢。中位數(shù)不受個別特小或特大觀察值的影響，特別是分布末端無確定數(shù)據(jù)不能求均數(shù)和幾何均數(shù)，但可求中位數(shù)。計算方法有：
表18-3 平均抗體滴度計算表
| 抗體滴度（1） | 人數(shù)f（2） | 滴度倒數(shù)X（3） | lgX（4） | flgX(5)=（2）×（4） |
| 1:8 | 2 | 8 | 0.9031 | 1.8062 |
| 1:16 | 6 | 16 | 1.2041 | 7.2246 |
| 1:32 | 5 | 32 | 1.5051 | 7.5255 |
| 1:64 | 10 | 64 | 1.8062 | 18.0620 |
| 1:128 | 4 | 128 | 2.1072 | 8.4288 |
| 1:256 | 2 | 256 | 2.4082 | 4.8164 |
| 1:512 | 1 | 512 | 2.7093 | 2.7093 |
| 合計 | 30（Σf） | 50.5728(ΣflgX) | ||
（一）直接法
當n較小時，可直接由原始數(shù)據(jù)求中位數(shù)。先將觀察值由小到大按順序排列，再按公式（18.6）或公式（18.7）計算。
公式（18.6）
(n為偶數(shù)時) 公式（18.7）
式中，n 為觀察值的總個數(shù)，X的右下標(n+1/2)、（n/2）、和（n/2+1）為有序數(shù)列中觀察值的位次，X(n+1/2)、X（n/2）和X（n/2+1）為相應位次上的觀察值。
例18.5 某病患者9名，其發(fā)病的潛伏期順序為2，3，3，3，4，5，6，9，16天，求中位數(shù)。
本例n=9，為奇數(shù)，按公式（18.6）計算
若上例在第20天又發(fā)現(xiàn)一例患者，則患者數(shù)增為10名，n為偶數(shù)，按公式（18.7）計算
（二）頻數(shù)表法
當n較大時，先將觀察值分組歸納成頻數(shù)表，再按組段由小到大計算累計頻數(shù)和累計頻率。如表18-4中的（3）、（4）兩欄，然后按公式（18.8）計算。
公式（18.8）
式中，L為中位數(shù)（即累計頻率為50%）所在組段的下限；i為該組段的組距；f為該組段的頻數(shù)；ΣfL為小于L的各組段的累計頻數(shù)；n為總例數(shù)。
例18.6 求表18-4中數(shù)據(jù)的中位數(shù)
表18-4 164名食物中毒潛伏期的中位數(shù)和百分位數(shù)*計算表
| 潛伏期（小時 ）（1） | 人數(shù)f（2） | 累計頻數(shù)（Σf）（3） | 累計頻率（%）（4） |
| 0～ | 25 | 25 | 15.2 |
| 12～ | 58 | 83 | 50.6 |
| 24～ | 40 | 123 | 75.0 |
| 36～ | 23 | 146 | 89.0 |
| 48～ | 12 | 158 | 96.3 |
| 60～ | 5 | 163 | 99.4 |
| 72～84 | 1 | 164 | 100.0 |
- 百分位數(shù)的意義與計算見后面的［附］.
由表18-4可見，50%在“12～”組段內(nèi)，則L=12，i=12,f=58,ΣfL=25,n=164,按式（18.8）計算
M=L+i/f(n/2-ΣfL)=12+12/58(164/2-25)=23.8(小時)
［附］百分位數(shù)：百分位數(shù)是一個位置指標，用Px表示。當P1，P2，……，P98，P99確定后，一個由小到大的有序數(shù)列即被分為100等份，各含1%的觀察值。百分位數(shù)常用于描述一組偏態(tài)分布資料在某百分位置上的水平及確定偏態(tài)分布資料的醫(yī)學正常值范圍。第50百分位數(shù)（P50）也就是中位數(shù)，所以，中位數(shù)也是一個特定的百分位數(shù)。計算百分位數(shù)用公式（18.9）
Px＝L＋i/fx（n.x%-ΣfL）公式（18.9）
式中，L、i、fx分別為Px所在組段的下限、組距和頻數(shù)；ΣfL為小于L的各級段的累計頻數(shù)。
例18.7 求表18-4中數(shù)據(jù)的P95。
求P95時，x=95，即累計頻率為95%所在組段。本例為“48～”組段，則L=48，i=12，fx=12,ΣfL=146,n=164,代入公式、（18.9）
P95=48+12/12（164×95%-146）=57.8（小時）
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